Anand Singh

Tangent and Normal to a Curve

(किसी वक्र पर स्पर्शरेखा और लम्ब रेखा)

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🔍 Introduction (परिचय):

किसी curve (वक्र) के किसी बिंदु पर खींची गई सीधी रेखा जो उस बिंदु पर curve को सिर्फ touch करती है और पास नहीं करती — उसे Tangent (स्पर्शरेखा) कहते हैं।

उसी बिंदु पर उस tangent के लंबवत (perpendicular) रेखा को Normal (लम्ब रेखा) कहते हैं।

Differentiation की मदद से हम इन दोनों की समीकरण (equation) निकाल सकते हैं।

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📚 1. Tangent to a Curve:

Let the curve be: y=f(x)

तो, tangent की equation:

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🧠 Example 1:

Equation: y−4 = 4 (x−2)

⇒y = 4x−4

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📚 2. Normal to a Curve:

अगर tangent की slope m है, तो normal की slope = −1/ m

📌 क्योंकि tangent और normal आपस में perpendicular होते हैं।

तो normal की equation होगी:

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🧠 Example 2:

Equation:

✅ Final Answer: x+4y=18

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📘 Important Notes:

• Tangent की slope ⇒ first derivative से मिलती है
• Normal की slope ⇒ negative reciprocal होती है
• दोनों की equations point-slope form से निकलती हैं

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🎯 Objectives Recap:

• किसी curve पर tangent और normal की slope निकालना
• Point-slope method से equations बनाना
• Geometry और physics में इनका प्रयोग

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📝 Exercise (अभ्यास प्रश्न):

📌 Short Questions:

1. Define tangent and normal to a curve.
2. What is the slope of normal if the slope of tangent is 3?
3. What is the general equation of tangent at point (x0,y0)?

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📌 Numerical Problems:

4. Find the equations of tangent and normal to:

Find the length of perpendicular from origin to the tangent of y=ln⁡ x at x=1

Applications of Differentiation

(अवकलन के अनुप्रयोग)

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🔍 Introduction (परिचय):

Differentiation सिर्फ गणितीय क्रिया नहीं है, बल्कि इसका उपयोग अनेक क्षेत्रों में होता है जैसे:

• Physics में speed और acceleration निकालने में
• Economics में profit maximization के लिए
• Engineering में tangent, curvature आदि के लिए
• Geometry में curve पर स्थित बिंदु की slope जानने के लिए

इस सेक्शन में हम कुछ प्रमुख प्रयोगात्मक उपयोगों को विस्तार से समझेंगे।

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📌 मुख्य अनुप्रयोग (Main Applications):

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1. Rate of Change (परिवर्तन की दर):

Function y=f(x) के लिए,

का अर्थ है:
x के बढ़ने पर y कितनी तेजी से बढ़ता या घटता है।

🧠 Example:

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2. Increasing & Decreasing Functions:

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3. Stationary Points & Turning Points:

Function के ऐसे बिंदु जहाँ dy/ dx=0

हो, उन्हें stationary points कहा जाता है।

📌 इन बिंदुओं पर function maximum या minimum हो सकता है।

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4. Maxima and Minima (Local Extrema):

✅ Condition:

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🧠 Example:

1st derivative:

2nd derivative:

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5. Optimization Problems:

Differentiation का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि कोई value किस समय maximum या minimum होती है।

📌 जैसे:

• सबसे छोटी लागत (minimum cost)
• सबसे बड़ा लाभ (maximum profit)
• सबसे छोटा समय (least time), etc.

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🧠 Example (Optimization Problem):

A rectangle is to be formed with a fixed perimeter of 20 cm. What should be its dimensions to maximize area?

Let length = x, breadth = y

Perimeter: 2(x+y)=20⇒y=10−x

Area A= x ⋅ y = x( 10−x) =10x − x^2

Now maximize A using derivative:

⇒ Maximum area occurs when length and breadth = 5 cm ⇒ square gives maximum area.

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🎯 Objectives Recap:

• किसी function के बढ़ने/घटने को पहचानना
• Stationary points निकालना
• Maxima और minima का निर्धारण करना
• Optimization problems को हल करना

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📝 Exercise (अभ्यास प्रश्न):

📌 Short Questions:

1. What is a stationary point?
2. When is a function increasing?
3. State the second derivative test for maxima/minima.

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📌 Numerical Problems:

Partial Differentiation (आंशिक अवकलन)

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🔍 Introduction (परिचय):

जब कोई function एक से अधिक variables पर depend करता है — जैसे z=f (x, y) तो हम केवल एक variable को बदलते हुए derivative निकालते हैं, जबकि बाकी variables को constant मानते हैं। इसी प्रक्रिया को Partial Differentiation कहते हैं।

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📚 Definition:

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🎨 Geometrical Meaning:

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🧠 Examples:

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🧪 Example 1:

Partial w.r.t y:

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🧪 Example 2:

Partial w.r.t x:

Partial w.r.t y:

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🔁 Higher-Order Partial Derivatives:

हम second order partials भी निकाल सकते हैं

📌 In many cases:

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🧠 Example 3:

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🎯 Objectives Recap:

• Partial derivative क्या होता है
• एक variable को differentiate करते हुए दूसरे को fix रखना
• Higher-order partial derivatives निकालना
• Real functions के लिए derivative निकालना

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📝 Exercise (अभ्यास प्रश्न):

📌 Short Questions:

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📌 Numerical Problems:

Leibnitz Theorem (लाइबनिट्ज़ प्रमेय)

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🔍 Introduction (परिचय):

जब हमें दो functions के product का n-th order derivative निकालना हो, तो सीधे product rule को बार-बार apply करना मुश्किल होता है।
ऐसे में हमें मदद करता है Leibnitz Theorem, जो एक shortcut formula है for higher-order derivatives of product of two functions.

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📚 Leibnitz Theorem:

Let u(x) और v(x) दो functions हों, जो n बार differentiable हैं।
तो y=u(x)⋅v(x) के n-th derivative के लिए:

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📌 Where:

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🧠 Example 1:

We know:

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🧠 Example 2:

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🎯 Objectives Recap:

• Higher-order derivatives of product functions के लिए shortcut formula
• Binomial coefficient की भूमिका
• Polynomial × exponential, log, trig functions के साथ प्रयोग

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📝 Exercise (अभ्यास प्रश्न):

📌 Short Questions:

1. Write the Leibnitz Theorem for nth derivative of product.
2. Find second derivative of y = x⋅ln⁡ x

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📌 Numerical Problems:

Successive Differentiation (क्रमिक अवकलन)

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🔍 Introduction (परिचय):

जब हम किसी function का derivative एक बार से अधिक निकालते हैं, यानी बार-बार differentiation करते हैं, तो इसे Successive Differentiation या Higher Order Differentiation कहा जाता है।

📌 इसे हम second derivative, third derivative, और आगे तक extend कर सकते हैं।

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📚 Definition:

Let y=f(x) be a differentiable function.

First derivative:

​

Second derivative:

Third derivative:

In general:

​

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🧠 Example 1:

1st derivative:

2nd derivative:

3rd derivative:

4th derivative:

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📘 General Result for Polynomial:

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🧠 Example 2:

Find first 3 derivatives of y = sin⁡x

1st derivative:

2nd derivative:

3rd derivative:

4th derivative:

📌 Thus: Trigonometric functions often follow a cyclic pattern in their higher-order derivatives.

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⚙️ Useful Notation:

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🎯 Objectives Recap:

• Higher order derivative निकालना सीखना
• Polynomial और trigonometric functions के लिए successive derivatives निकालना
• Cyclic nature और pattern पहचानना

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📝 Exercise (अभ्यास प्रश्न):

📌 Short Questions:

1. Define second and third order derivatives.
2. What is the 4th derivative of y=x^3 ?
3. Show that the 4th derivative of y = sin⁡x is same as the function.

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📌 Numerical Problems: