Tautology and Contradiction
🔍 परिचय (Introduction):
Logic में कुछ ऐसे statements होते हैं जो हर परिस्थिति में हमेशा सत्य (True) रहते हैं — इन्हें Tautology कहते हैं।
इसके विपरीत, कुछ ऐसे statements होते हैं जो हर परिस्थिति में हमेशा असत्य (False) होते हैं — इन्हें Contradiction कहते हैं।
ये दोनों concepts logic circuits, mathematics, और computer science में बहुत important हैं।
✅ 1. Tautology (सर्वसत्य)
📚 Definition:
अगर कोई logical statement हर possible combination पर हमेशा True आता है, तो वह tautology कहलाता है।
📌 Symbolically:
If S is a statement, and ∀ truth values, S=True⇒S is a tautology\forall \text{ truth values, } S = \text{True} \Rightarrow S \text{ is a tautology}∀ truth values, S=True⇒S is a tautology
🔠 Examples of Tautology:
- p ∨ ¬p
(Either p is true OR not p is true — हमेशा सत्य)
| p | ¬p | p ∨ ¬p |
|---|---|---|
| T | F | ✅ T |
| F | T | ✅ T |
✅ हमेशा true ⇒ Tautology
- (p → q) ∨ (q → p)
| p | q | p → q | q → p | Combined OR |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | ✅ T |
| T | F | F | T | ✅ T |
| F | T | T | F | ✅ T |
| F | F | T | T | ✅ T |
✅ Always true ⇒ Tautology
🎓 Real-Life Example:
Statement: “You are either alive or not alive.”
⇒ It is always true. Hence, it’s a tautology.
❌ 2. Contradiction (विरोधाभास)
📚 Definition:
अगर कोई logical statement हर possible truth value पर हमेशा False आता है, तो वह contradiction कहलाता है।
📌 Symbolically:
If S is a statement, and ∀ truth values, S=False⇒S is a contradiction\forall \text{ truth values, } S = \text{False} \Rightarrow S \text{ is a contradiction}∀ truth values, S=False⇒S is a contradiction
🔠 Examples of Contradiction:
- p ∧ ¬p
(एक साथ कोई statement और उसका निषेध — कभी भी true नहीं हो सकता)
| p | ¬p | p ∧ ¬p |
|---|---|---|
| T | F | ❌ F |
| F | T | ❌ F |
❌ हमेशा false ⇒ Contradiction
- (p ∧ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
एक ही समय पर p और q दोनों सत्य होने चाहिए और साथ ही p या q कम से कम एक असत्य भी होना चाहिए — यह logically impossible है।
⇒ हमेशा False ⇒ Contradiction
🎓 Real-Life Example:
Statement: “It is raining and not raining at the same time.”
⇒ ये कभी true नहीं हो सकता ⇒ contradiction
📘 Summary Table:
| Type | Symbolic Form | Always Result |
|---|---|---|
| Tautology | p ∨ ¬p | ✅ True |
| Contradiction | p ∧ ¬p | ❌ False |
🎯 Objectives Recap:
- Tautology और Contradiction को पहचानना
- Truth tables से उनका analysis करना
- Symbolic और real-world examples से समझना
- Logical decision-making में इनका उपयोग सीखना
📝 Exercise (अभ्यास प्रश्न):
📌 Short Answer Questions:
- What is a tautology? Give one example.
- Define contradiction with truth table.
- Is (p ∧ ¬p) a tautology or contradiction? Explain.
📌 Long Answer / Numerical Questions:
- Show that (p ∨ ¬p) is a tautology using truth table.
- Show that (p ∧ ¬p) is a contradiction using truth table.
- Determine whether the following is a tautology, contradiction, or neither:
a. (p ∧ q) → p
b. (p ↔ ¬p)